(a) B i to¡n cüc trà
Tr÷îc h¸t l kh¡i ni»m v· h m lçi, h m nûa li¶n töc d÷îi v h m kh£ vi G¥teaux (xem [2]).
ành ngh¾a 2.1.1 H m ϕ :X → R∪ {+∞} ÷ñc gåi l (i) h m lçi n¸u vîi måi x, y ∈ X v måi λ ∈ [0,1],
ϕ(λx+ (1−λ)y) ≤ λϕ(x) + (1−λ)ϕ(y); (2.4) (ii) h m lçi ch°t n¸u d§u "=" ð b§t ¯ng thùc (2.4) ch¿ ¤t ÷ñc khi
x = y.
(i) nûa li¶n töc d÷îi tr¶n X n¸u
lim inf
y→x ϕ(y)≥ ϕ(x) ∀x ∈ X;
(ii) nûa li¶n töc d÷îi y¸u tr¶n X n¸u vîi måi d¢y {xn} cõa X hëi tö y¸u ¸n x (xn * x) th¼
lim inf
n→∞ ϕ(xn) ≥ ϕ(x) ∀x∈ X;
(iii) kh£ vi G¥teaux t¤i iºm x ∈ X n¸u tçn t¤i x∗ ∈ X∗ sao cho
lim
λ→+0
ϕ(x+λy)−ϕ(x)
λ = hx∗, yi ∀y ∈ X,
x∗ ÷ñc gåi l ¤o h m G¥teaux cõa ϕ t¤i x, kþ hi»u l ϕ0(x). Nhi·u v§n · cõa thüc t¸ d¨n ¸n vi»c t¼m cüc trà khæng r ng buëc cõa phi¸m h m lçi, trìn. B i to¡n n y s³ ÷a ¸n vi»c t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh to¡n tû d¤ng Ai(x) =fi vîi méi i = 0,1, . . . , N. Thªt vªy, n¸u Ai l ¤o h m G¥teaux cõa mët h m lçi ch½nh th÷íng nûa li¶n töc d÷îi ϕi :X →R∪ {+∞} th¼ tªp Si tròng vîi tªp nghi»m cõa b i to¡n cüc trà
ϕi(x∗) = min
x∈X ϕi(x) (2.5)
v l mët tªp lçi âng trong X. Do â S công l mët tªp con lçi âng trong X. K¸t qu£ n y ÷ñc suy ra tø ành lþ 1.1.19, ành lþ 1.1.22, Bê · Minty v m»nh · sau ¥y.
M»nh · 2.1.3 (xem [8, M»nh · 2.1]) Gi£ sû ϕ : X → R ∪ {+∞}
l mët phi¸m h m lçi ch½nh th÷íng, nûa li¶n töc d÷îi tr¶n X v kh£ vi G¥teaux vîi ¤o h m G¥teaux l A. Khi â, c¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng:
(i) x∗ l iºm cüc tiºu cõa ϕ(x) tr¶n X; (ii) hA(x∗), x−x∗i ≥ 0 vîi måi x ∈ X; (iii) hA(x), x−x∗i ≥ 0 vîi måi x ∈ X.
(b) B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa c¡c to¡n tû th¸ n«ng khæng gi¢n
B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa c¡c to¡n tû th¸ n«ng khæng gi¢n ÷ñc ÷a v· h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u (2.1) vîi fi = 0. B i to¡n ÷ñc mi¶u t£ nh÷ sau: Cho Ti :H → H,i = 0,1, . . . , N l c¡c to¡n tû khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thücH. °t Ci :=Fix(Ti)l tªp iºm b§t ëng cõa to¡n tû Ti, ngh¾a l Fix(Ti) := x ∈H :Ti(x) =x . H¢y t¼m ph¦n tû x˜ ∈ C :=
N
T
i=0
Ci. B i to¡n n y ¢ ÷ñc nghi¶n cùu vîi i·u ki»n
C : = Fix(TN. . . T1T0) = Fix(T0TN . . . T1) =. . .
= Fix(TN−1TN−2. . . T0TN),
trong khæng gian Hilbert v sau â ÷ñc mð rëng cho khæng gian Banach. i·u ki»n tr¶n câ thº ¤t ÷ñc bði t½nh ch§t th¸ n«ng cõa c¡c to¡n tû
Ti, ngh¾a l tçn t¤i h m fi(x) sao cho fi0(x) =Ti(x). Khi â
ϕi(x) := kxk2
2 −fi(x),